求一数学模型论文：养老保险的利率问题
1、求一数学模型论文：养老保险的利率问题
养老保险的利率问题 养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型。通常保险公司会提供多种方式的养老保险计划供投保人选择，在计划中详细列出了保险费和养老金的数额。例如某保险公司的一份保险中指出：在每月缴费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金为2282元；若35岁起投保，届时月养老金为1056元；若45岁起投保，届时月养老金为420元.试确定这三种情况下所交保险费的利率。备注::以男子平均寿命为75岁计算 养老保险的模型设计 摘要：本文通过对给定保险方案的分析，针对养老保险的实际情况，提出了对投保人有利的计算方法，以下对题目所给定的方案作出简要分析： 方案I：25岁开始投保，直到59岁止，60岁开始领取养老金，直到死亡，死时一次支付家属一定金额。 方案II：35岁开始投保，直到59岁止，60岁开始领取养老金，直到死亡，死亡时一次支付家属一定金额。 方案Ⅲ：45岁开始投保，直到59岁止，60岁开始领取养老金，直到死亡，死亡时一次支付家属一定金额。针对该方案需寻找一个确定有利方案的指标，由此我们引入了投保有利率 (其定义为：领取的总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差再与投保总金额（包括利息）的比值)；这样来把未来的资金转换为现值，来体现投保人与保险公司何者获利及何种方案对投保人更有利。在此需说明：a. 表示投保人获利；b. 表示投保人和保险公司等价交换；c. 表示保险公司获利。此外， 的值越大说明对投保人越有利。我们计算出方案I的 值为0.00485，方案II的 值为0.00461，方案III的 值为0.00413；根据我们的对 的定义可知：方案I对投保人更有利。 一 问题重述养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型。通常保险公司会提供多种方式的养老保险计划供投保人选择，在计划中详细列出了保险费和养老金的数额。例如某保险公司的一份保险中指出：在每月缴费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金为2282元；若35岁起投保，届时月养老金为1056元；若45岁起投保，届时月养老金为420元.试确定这三种情况下所交保险费的利率。备注::以男子平均寿命为75岁计算 二 基本假设 根据题目的规定和实际情况，做出如下合理的假设，使问题简化易于解决。
1、假设交纳保险费与领取养老金的时间分别为每月的月初与月末。
2、假设预期寿命时间即为领取养老金的最后月份。
3、银行的月利率不随时间的变化而变化。
4、对投保人更有利理解为：在不同方案中，死亡时的领取养老金的总数（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差值与投保总金额的比率更大。 三 符号说明:投保利息；:投保收入利息；: 投保收入(领取的总金额+利息)；:领取总金额；:投保费(投保总金额+利息)；:投保总金额； a:投保人死后，保险公司一次支付其家属金额。 四 问题分析 本问题是一个在实际社会背景下有多因素共同作用的模糊描述问题，解决本问题需要经历以下几个过程：1． 问题及其抽象 根据我们所假设的条件可知：对投保人的有利程度取决于领取的养老金总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差值与投保总金额的比率。定义如下：投保有利率= 即： ………………………… (1) 上式的投保率也就是我们所求问题的解，就是得到的最优解，即：如果投保有利率越大，那么对投保人越有利。据假设及其定义， 有如下情况：(1)、 表示投保人获利； (2)、 表示投保人和保险公司等价交换；(3)、 表示保险公司获利。2．主要元素之间的关系投保人在投保的同时必须考虑到所投出的资金所产生的利息，此时所产生的利息（ ）其实也是投保总金额（ ）的一部分。我们不妨设：投保收入（ ）=所领取的金额+利息即： …………………………… (2)同理，设： 投保费=投保总金额+利息即: ………………………… (3)以上式（2）、（3） 带入（1）式便可求解， 越大说明在同环境下做投保越有利。 五 模型建立与求解 针对此实际问题据以上分析可知：方案I：在每月缴费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金为2282元，死亡后保险公司一次性支付给家属a元；据(3)式可知：投保费为： ………………………… (4)其中： 表示第i岁时投保金额； 表示 所对应的利息。又据(2)式可知：投保收入为：…………………(5)此时：a=10000；其中： 表示第j岁领取的金额； 表示 所对应的利息。将(4)式和(5)式代入(1)式可得： …………………(6)此处可计算得：=0.00485方案II： 在每月缴费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若35岁起投保，届时月养老金为1056元，直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属a元。 据(3)式可知： 投保费为： …………………(7) 其中： 表示第i岁时投保金额； 表示 所对应的利息。又据(2)式可知：投保收入为： ……(8)此时：a=10000；其中： 表示第j岁领取的金额； 表示 所对应的利息。将(4)式和(5)式代入(1)式可得： …(9)此处可得： =0.00461方案Ⅲ： 在每月缴费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若45岁起投保，届时月养老金为420元，直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属a元。据(3)式可知： 投保费为： …………………(7) 其中： 表示第i岁时投保金额； 表示 所对应的利息。又据(2)式可知：投保收入为： ……(8)此时：a=10000；其中： 表示第j岁领取的金额； 表示 所对应的利息。将(4)式和(5)式代入(1)式可得： ………(9)此处可得：=0.00413比较上述3个 的值，就可以看出第一种投保方式更有利。 六 模型的检验 本模型从实际问题着手推导出该问题的一般模型并利用定义好的 来对结果进行进行说明。根据我们以上的模型和分析可知： 可为正数、负数也可以为零，其意义如上所述；对于问题一而言的方案I与方案II、方案III的 值分别为0.00485和0.00461与0.00413。显然据我们所定义的 值的意义可知，此时方案I相对于方案II和方案III对投保人更有利；方案I为我们所建立一般模型的特殊形式（e=0），我们在进行模型检验的时候应用问题所给出的数据进行并对其优化，对于方案I我们特做如下检验：在分析过程中我们应该明确的知道，如果投保人的寿命没有达到保险公司所预期的寿命，那么我们所求的 值应该比达到预期的寿命的 值小。用C语言实现可得当某人寿命为74岁时的 值小于0.00485，说明他们都对投保人有利（ 值定义可知）；我们在取某人的寿命为74岁时候，此时的 值为正，又取寿命为73岁时对应的 值为负；此时出现了为负值的情况，由我们的分析可知：出现负值也就意味着此时对保险公司有利。从方案I来说是符合实际情况的，所以针对方案I我们的模型成立。我们从以上的检验中可以看出，方案I对投保人的有利率大于方案II和方案III对投保人的有利率。这符合我们的实际情况也符合我们的模型的最终结论。故模型在一定的条件下是可用的。 七 模型的评价 本模型在计算出题目所给定的方案中的最优投保之外，考虑到了投保资金的多少对投保获利的影响，引入了 加以量化；但此模型基于的是我们的假设，比如：银行的利率不可能在多年是一定的，也未考虑人每年的死亡概率。这样在模型的改进方面可以考虑这些方面对模型的影响。此模型对实际投保问题很有意义，既可做为保险公司方的参考工具，又可为投保人提供一定的信息。本文也对寿命的变化所引起的模型的变化做了灵敏性分析；但其中不足之处亦有之：模型没有图形、表格之类的部分，不能使问题更清晰，直观地表现。 参考文献: [1] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型 (第三版) [M]. 北京: 高等教育出版社，2004年2月 [2] 唐焕文，贺明峰. 数学模型引论（第二版）. 北京：高等教育出版社，2002年5月 [3] 徐稼红. 从“养老金”问题谈起. 苏州大学数学系。 附录：C源程序：#include
1、0,sum2=0.0,sum3=0.0,result=0.0; for(j=60;j<=75;j++) { sum1=
1、0; for(k=1;k<=75-j;k++) sum1=sum1*(1+0.058); sum1=12*2282*sum1; sum2=sum2+sum1; } sum2=sum2+10000.0; printf("sum2=%f\n",sum2); for(i=25;i<=59;i++) { sum1=
1、0; for(k=1;k<=75-i;k++) sum1=sum1*(1+0.058); sum1=200*12*sum1; sum3=sum3+sum1; } printf("sum3= %f\n",sum3); result=sum2/sum3-1; printf("result=%f\n",result);}。
